Le ministre de l'éducation et des sciences;
Vu la loi n° 91-43 du 26 juin 1991, portant création d'un institut préparatoire aux études scientifiques et techniques;
Vu le décret n°92-1478 du 15 août 1992, définissant le régime des études et examens au sein de l'institut préparatoire aux études scientifiques et techniques et notamment son article 12;
Arrêté :
Article premier - Le présent arrêté fixe le règlement du concours d'entrée au cycle préparatoire au concours d'agrégation en sciences mathématiques, ses modalités d'organisation, le programme des épreuves écrites et orales et leurs coefficients, conformément à l'article 12 du décret n° 92-1478 du 15 août 1992 sus-visé.
Art. 2 - Sont admis à participer au concours d'entrée au cycle préparatoire au concours d'agrégation en sciences mathématiques, les candidats titulaires d'une maîtrise en mathématiques ou d'un diplôme équivalent ou d'un diplôme d'ingénieur.
Art. 3 - Les formalités d'inscription sont accomplies par les candidats en personne ou par leur mandataires, ils émargent le registre d'inscription.
Art. 4 - Le concours d'entrée au cycle préparatoire au concours d'agrégation en sciences mathématiques comprend pour tous les candidats deux épreuves en mathématiques d'admissibilité d'une durée de 4 heures chacune.
Il est attribué à chaque épreuve écrite un coefficient égal à un (1).
Les candidats déclarés admissibles subiront une épreuve orale d'admission en mathématiques et ce, à une date qui sera portée à leur connaissance par le jury du concours.
Il est attribué à l'épreuve orale un coefficient égal à deux (2).
Art. 5 - Le programme relatif à ce concours est fixé à l'annexe jointe au présent arrêté.
Art. 6 - Nonobstant les poursuites pénales du droit commun, toute fraude ou tentative de fraude dûment constatée entraîne l'exclusion immédiate du candidat de la salle d'examen, l'annulation des épreuves subies par le candidat et l'interdiction de participer de un à cinq ans au concours d'entrée au cycle préparatoire au
concours d'agrégation en sciences mathématiques sans préjudice des sanctions disciplinaires pour les candidats fonctionnaires.
Cette interdiction sera prononcée par arrêté du ministre de l'éducation et des sciences sur proposition du jury du concours.
Toutes fraude ou tentative de fraude doit faire d'un rapport ci-condamné du surveillant ou de l'examineur qui l'a constatée.
Art. 7 - Le jury propose par ordre de mérite la liste des candidats admis définitivement dans la limite des postes mis en concours qui sera arrêtée par le ministre de l'éducation et des sciences.
Tunis, le 20 avril 1993
Le Ministre de l'éducation et des sciences
Mohamed Charfi
Vu
Le Premier Ministre
Hamed Karoui
Programme du concours d'entrée au cycle préparatoire au concours d'agrégation de sciences mathématiques
I - Généralités :
Vocabulaire de la théorie des ensembles, application d'un ensemble dans un ensemble, composition des applications, restriction réciproque, image, image réciproque, application injective, surjective, bijective.
Relations, relations d'équivalence, relation d'ordre.
II - Algèbre générale :
Groupes, sous groupes, classes d'équivalence modulo un sous-groupe, homomorphismes, sous-groupes distingués, groupes quotients, produit fini de groupes, sous groupe engendré par une partie, groupe monogènes, ordre d'un élément, groupe abélien de type fini, groupe de permutation d'un ensemble fini, groupe symétrique (décomposition d'une permutation en transpositions, en cycles, signature d'une permutation), groupe alterné.
Anneaux, règles de calcul dans un anneau, formule du binôme, sous-anneaux, homomorphismes d'anneaux, idéaux dans un anneau commutatif, anneaux quotien, anneau commutatifs intégrés.
Corps, sous-corps, corps premier, caractéristique, corps des fractions d'un anneau commutatif intégré unitaire.
Polynômes en fractions rationnelles, propriétés élémentaires de l'anneaux K (X), avec K corps commutatif, décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples (ca + R ou C).
III - Algèbre linéaire :
Espaces vectoriels sur un corps commutatif, sous-espaces vectoriels, applications linéaires, image, noyau, espaces quotients.
Somme de sous-espaces somme directe, produit d'espaces vectoriels, espaces vectoriels de dimension finie, base, dimension, existence de supplémentaires, rang d'une application linéaire, relation entre le rang et la dimension du noyau, espace dual, espace bidual, transposée d'une application linéaire, orthogonalité, base duale, rang de la transposée, isomorpisme canonique entre l'espace et son bidual.
Matrices, opérations sur les matrices, matrice d'une application linéaire relativement à un choix de base, changement de base, rang d'une matrice, rang de sa transposée.
Déterminant, applications multilinéaires, formes p-, linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n, déterminant, déterminant d'un endomorphisme et d'une matrice carrée, matrice des cofacteurs, inverse d'une matrice.
Equations linéaires, rang d'un système, compatibilité, méthodes pratiques de résolutions.
Réductions d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, valeur propre, vecteurs propres, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton, décomposition de l'espace caractéristique, diagonalisation, trigonalisation.
p. 601IV - Espaces vectoriels euclidiens :
Rang d'une forme bilinéaire, forme bilinéaire non dégénérée, matrice d'une forme bilinéaire dans une base, changement de base, formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques, forme polaire d'une forme quadratique, vecteurs orthogonaux par rapport à une forme bilinéaire symétrique, noyau, éléments isotropes, bases opythogonales par rapport à une forme quadratique, décomposition d'une forme quadratique en somme de carrée.
Formes réelles positives, inégalité de Cauchy-Schwarz, formes positives non dégénérées, espaces vectoriels euclidiens, produit sealaires, orthogonalité, norme, supplémentaires orthogonaux, bases orthonormales, groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal, adjoint d'un endomorphisme, endomorphismes symétriques.
V - Notions élémentaires de topologie :
- Fonction d'une ou plusieurs variables réelles :
Espaces métriques, espaces compacts, espaces connexes, limites, applications continues, homéomorphismes, applications contenues définies, sur un espace compact, suites, applications uniformément contenues, suite de Cauchy, espaces complets.
Continuité des fonctions d'une ou plusieurs variables à valeurs dans IRn. Homéomorphismes d'un intervalle de IR, fonctions réciproques, fonctions monotones, trace des courbes planes en coordonnées paramétriques et polaires, fonctions convexes d'une variable, inégalités de convexité.
VI - Calcul diferentiel :
Fonction réelle d'une réelle : dérivée en un point, dérivée à gauche, à droite, fonction dérivée, calcul des dérivées d'une fonction composée, d'une fonction réciproque, dérivée d'ordre supérieur, dérivée n-ème du produit de deux fonctions, théorème de rolle, théorème des accroissements finis, sens de variation d'une fonction dérivable, formules de Taylor (reste de la Lagrange, reste de Young, reste sous forme intégrale), comparaison des fonctions au voisinage d'un point, développements limités.
Application de IRN dans IRP : dérivées partielles, matrice jacobienne, application au problème de changement de variable, dérivées partielles d'ordre supérieur, interversion de l'ordre des dérivations, formules des accroissements des accroissements finis, formules de Taylor, fonctions implicites (existence, continuité, différenciation), théorème d'inversion locale.
VII - Calcul intégral :
Intégration des fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles.
Primitives d'une fonction continue (méthodes usuelles de calcul).
Intégrales impropres.
Fonctions définies par une intégrale.
Intégrales de Lebesgue sur IRn, mesure de Lebesgue, ensemble et fonctions mesurables, ensemble de mesure nulle, convergence presque partout d'une suite de fonctions mesurables, théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée, dérivation sokus le signe somme, théorème de Fubini : changement de variables dans une intégrale multiple.
Intégrales doubles et triples, formules ramenant leur calcul au calcul d'intégrales simples, calcul en coordonnées rectangulaires, polaires, cylindriques et sphériques.
VII - Séries :
Séries à termes réels ou complexes, convergences, somme, cas des séries à termes réels positifs, comparaison de deux séries, comparaison d'une série et d'une intégrale, série n-x, convergence absolue, produit de deux séries absolument convergentes.
Suites et séries de fonctions numériques, convergence simple, convergence uniforme, convergence normale d'une série, application à l'étude de la continuité, de la dérivabilité, de l'intégrabilité d'une fonction définie par une suite ou une série.
Séries entières - rayon de convergence, somme et produit de deux séries entières, convergence uniforme : continuité, dérivées et primitives de la somme d'une série entière d'une variable complexe.
Série de Taylor, développement de fonction en série entière.
Série de Fourier, fonction périodiques d'une variable réelle à valeurs complexes, coefficients et série de Fourier d'une fonction, théorème de Dirichlet pour les fonctions de classe C1 par morceaux, convergence normale de la série de Fourier d'une fonction contenue de classe C1 par morceaux.
Théorème de Parseval.
Fonction holomorphes, fonctions analytiques, théorème des résidus.
IX - Équations différentielles :
Équations différentielles x' = f(t,x) où f est une application d'une partie de IRn dans IR.
Système différentiel linéaire, cas où les coefficients sont constats.
Résolution des équations différentielles de type classique.
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